◎李昀修
「根號2是無理數的證明」，本是高中一年級的數學內容，但今年森林小學的小六學生們，卻在畢業前挑戰了這個題目。而他們不只必須學會，還需要可以上台報告，並把台下的家長們教會。
這樣的開頭可能讓人誤以為主旨是森林小學的學生學力超群。但會有這樣的誤解也是理所當然的，因為難度往往被當作是學習的重點，如果聽到「根號2是無理數的證明」其實能夠讓學生們學得開心、學得有感，學出對知識的喜愛，聽起來只會像是天方夜譚吧？
進行這場教學前，森林小學內部也經歷過一番討論。因為原本森林小學每年的畢業報告是「文學報告」，六年級的孩子每個人都會負責報告一篇文學。然而在進行數年的文學報告後，今年轉變為數理報告，引起了小孩、家長甚至老師的反彈，小孩們直接抗拒，說「文學才有自己的想法啊！」，而大人也不免擔心，這會不會只是讓小孩把早已存在的證明方式再講一遍而已？
但一向是語文科教學主力的森小教學主任小何卻說自己非常支持這個改變：「因為，知識都有有趣跟迷人之處啊。小孩還這麼小，怎麼就斷定文學比數學報告有趣呢？我覺得這是迷思，而有一個破除迷思的機會，對孩子是很棒的。」
而迷思要破、要讓孩子覺得「根號2是無理數」這個知識有趣，首先必須有喜愛學習的老師。最前頭就跳入這個火坑的，就是信佑老師。
不過，他一開始是想教「證明算術基本定理」：「因為這跟六年級的一個單元有關。但史英老師說只講一個定理，聽眾不知道為何要聽，希望可以應用，就想，算術基本定理可以用在證明根號二是無理數。那我們就挑戰這個吧。」
接下了難題後，信佑開始思考當時還是小五的學生們手上握有的知識，能夠攻克這道難關嗎？他刻意不去看高中時代的證明方法，先試著讓自己從小學生的語言來證明這一題，並找人試講後回頭調整教案。開始上課前，他先跟小孩說了畢達哥拉斯的故事——一生相信所有數字都能寫成整數比（ａ｜ｂ）的畢達哥拉斯在發現兩邊長為1的直角三角形，斜邊居然無法寫成整數比的時候，居然大崩潰！！
聽到遠古的賢人竟然因為這種聽都沒聽過的事情大崩潰，小孩樂不可支。然而，這正是對一個從未聽過的概念「根號2」有所感覺的開始。而「有感」，是讓孩子攻克這個證明題的重點。
於是，他在黑板上畫了一個面積為2的正方形，請孩子按計算機，看看按不按得出有一個數字，自己跟自己相乘後會等於2呢？
孩子們按著計算機，從1.4太少、1.5又太多，到1.41太少，但1.42又太多，一路往下數字越按越多，卻都按不出來——這是一個實際存在的數字嗎？
有了這個疑問，便讓小孩把兩個面積為1的正方形拿出來拼拼看，如果有辦法拼出面積為2的正方形，就表示這個數字存在，只是我們不知道它的真實模樣。而計算機上那一串長長數字倘若會「循環」，問題不就解決了嗎？
對於已經學過「循環小數」的孩子來說，面對一個明明存在卻按也按不完、寫不清楚的數字，只要會循環，那我就得到它了！
然而寫到這裡，讀者或許已經發現「循環小數」並不是「無理數」。要抵達「證明根號2是無理數」的終點，仍有許多的路程要走，比如接下來需要證明「循環小數」一定能寫成「分數」、需要說明為何要寫成「分數」、需要……必須經歷層層在細節上的思考，才能稱得上是學會了證明「根號2是無理數」。
對比於高中的證明方式，一開頭便是「假設根號二是有理數，可化為最簡分數ａ｜ｂ……」後續便展開一連串平方後移項的動作。高中生與小學生所擁有的基礎當然不同，但對於小孩來說，其實有非常非常多的前提並沒有被解釋，他們心中可能會想「剛剛是有理數，怎麼突然變出了分數？」、「為什麼一開始就可以說是最簡分數呢？」，以及，「為什麼兩個陌生的符號移來移去，我們就『證明』了呢？這是實際存在的數字嗎？」而這些問題，其實許多高中生也未必思考過。
但每一個假設，其實都必須有理由來說服小孩，否則就會是無感的背誦。而同樣的，小孩在報告過程中，也必須給出理由來說服聽眾們，讓觀眾們也「有感」。
不過說起來，如果只是要學會證明「根號2是無理數」，那學完就好了。還要上台報告，報告中又要設想怎樣讓觀眾（家長）聽懂，這難道只是
為了服務觀眾嗎？
聽到這問題，小何若有所思的說這是個好問題，隨即馬上搖頭：
「不是喔。不是為了服務觀眾。」
事實上「學會這件事」與「讓人聽懂這件事」，所需要的能力並不一樣。為了讓人聽懂，小孩要學會跳脫自我中心，站在別人的立場去思考其他人為何會卡關。所以每個孩子在準備報告的過程裡，都會有老師擔任「書僮」。書僮不能給答案，只能在小孩試講報告的時候問小孩「剛剛某部分聽不太懂」、「會不會覺得某個段落講得卡卡的？」，幫助小孩思考自己的盲點、思考如何與人溝通，也確保報告的語言是出自於孩子自己的想法。
而報告採用「完形法」（ Gestalt ），把證明題分為四層，一層層從粗到細，但每層都是完整的證明，讓聽眾可以持續跟上進度。
但怎麼決定這四層分別談什麼呢？信佑說：「這是跟小孩討論出來的喔，一開始教的時候雖然是依照順序教，但討論怎麼報告時，我們用倒推的，反正第四層一定最詳細，那第三層有哪些可以不講？第二層呢？第一層呢？跟小孩一起把它架構出來。」
花這麼許多的力氣，都是為了讓小孩有機會展現自己「會」。
信佑說道：「我覺得，當小孩會了一件事的時候，他是渴望展現的，以及展現時，會有一種內在的自信出來。為此他們會用盡所有努力與嘗試，甚至會追著大人不放過。」
他提起有個孩子在思考「循環小數」能寫成「分數」的段落時，突然反問：「如果0.3循環可以被寫成1｜3的話，那0.9循環等於1嗎？」這讓信佑大吃一驚，這不在原本教學的範圍內，但小孩想的卻是正確的。以及，雖然信佑認為有點岔題，小孩卻非常堅持在報告中加入這段：「因為小孩說『這是我想到的，我要講！』」
「這報告有點像是大人合力撐起給小孩的舞台，但他要如何發光，是看小孩對學習的追求。」他笑說。
而孩子們有所追求了嗎？應該有吧，至少在正式報告結束後，孩子們興奮的想在全校的才藝大會上再講一次數理報告，讓還沒聽到的全校同學都一起來聽看看。這反應讓信佑鬆了一口氣，他笑說，直到報告結束後，他才突然感覺到害怕。
「害怕什麼？」
「我怕孩子沒有成就感、不開心，或者沒有成為他期待的樣子。」
「我希望小孩可以不怕，覺得好玩、想學。無論學會多少，重點是他想學，而且學得有趣、值得，這是我希望可以做到的事情。」
當我們聽到兩千多年前，曾有一個叫做畢斯哥拉德的人會因為根號2是無理數而大感崩潰時，也會跟小孩們一樣哈哈大笑，覺得這個人莫名其妙吧？可是，曾有一個人對於這個神秘的、摸不清楚來頭的數字是那樣的執著，以及拚了命的想要掌握——這不也表示他對這個知識是多麼想要理解、多麼想要掌握、多麼的為之悸動嗎？
而對於知識的這份感情在這次的數理報告中跨越兩千多年的時光，讓孩子與古老的賢人們擁有了共同的追求。
